1. Dinámica del movimiento circular

Imagen 2. Willy GNU Free License

Según la primera ley de Newton, para que una partícula se mueva según una trayectoria no rectilínea es necesario que actúe una fuerza sobre ella, ya que si no permanecería en movimiento en línea recta indefinidamente.

Esta fuerza, si tiene una componente perpendicular al movimiento, provoca que el cuerpo describa una trayectoria curva, aún cuando su velocidad lineal pueda ser constante. En el caso que la fuerza tenga un módulo constante y sea siempre perpendicular al movimiento, se tiene un movimiento denominado circular uniforme (m.c.u.). Este tipo de movimiento, por su simplicidad, nos servirá como base del estudio del movimiento de los planetas y satélites que va a desarrollarse en esta Unidad.

En un movimiento de este tipo, su trayectoria es circular y, según se vio, existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la velocidad lineal de la partícula y el radio de la trayectoria. Las ecuaciones que describen esta relación eran:

Imagen 3. A. Franco. Permiso uso educativo

En todo movimiento la aceleración puede descomponerse en dos componentes:

1) Aceleración normal (a_n) responsable del cambio de dirección (si a_n = 0 la trayectoria es una recta)

2) Aceleración tangencial (a_t) responsable del cambio en la velocidad lineal con la que se mueve el objeto.

En un movimiento circular uniforme (m.c.u.) de radio  la aceleración es únicamente de tipo normal y constante, siendo su valor:

Imagen 4. Dudua Creative Commons

Una atracción de feria gira describiendo un movimiento circular uniforme de 6 m de radio, tardando 10 segundos en realizar una vuelta completa.

Calcula su aceleración.

La segunda ley de Newton determina el movimiento de una partícula. En el caso de un m.c.u. también debe ser así, con la única consideración que el valor de la aceleración corresponde únicamente al término perpendicular, esto es, a la aceleración normal. De esta forma:

Imagen 5. Dr.T Creative Commons

La ecuación de la dinámica para un m.c.u. toma la forma:

Esta fuerza recibe el nombre de fuerza centrípeta, es la responsable del movimiento circular y está dirigida siempre en dirección hacia el centro de rotación.

Calcula la fuerza que experimenta una persona de 70 kg situada en el extremo exterior de la atracción descrita en el ejercicio resuelto anterior.

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1.1 Momento angular

En Física y Química de primero de bachillerato estudiaste el momento lineal (p) de un sistema (también denominado cantidad de movimiento). Este se definía como el producto de la masa por la velocidad instantánea (p = m·v) y resultaba de gran utilidad en el estudio de las colisiones, pues en ausencia de fuerzas externas su valor se conservaba.

Cuando se trata del movimiento de sistemas en rotación resulta interesante introducir una magnitud análoga, que simplifique su estudio.

Imagen 6. Prometeus Creative Commons

Cuando una partícula de masa  se mueve con velocidad  se define su momento angular () respecto a un punto O como el producto vectorial de su posición respecto a dicho punto () por su momento lineal ()

De esta definición se deduce que la unidad del momento angular en el S.I. es kg·m²·s^-1

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores  y  , se representa como  y es otro vector  que tiene las siguientes propiedades:

Imagen 7. Schorschi2 Dominio público

• Su módulo es  siendo  el ángulo definido por los vectores  y .

• Su dirección es perpendicular al plano definido por los vectores  y .

• Su sentido es el correspondiente al avance de un sacacorchos al girar desde la posición del vector  hasta el , también indicado por la regla de la mano derecha, según se indica en la figura.

De esta definición de momento angular pueden extraerse unas conclusiones interesantes:

1) El momento angular es una magnitud vectorial, por lo que viene caracterizado por su módulo, dirección y sentido, que serán las correspondientes al producto vectorial que ya has estudiado en matemáticas.

• El módulo toma un valor , donde es el ángulo formado entre el vector posición y el vector velocidad
• La dirección es perpendicular al plano formado por el vector posición y el vector velocidad (ortogonal a ambos por tanto)
• El sentido viene dado por la denominada "regla de la mano derecha o del sacacorchos"

2) El momento angular no es una magnitud intrínseca, sino que depende del origen de referencia tomado. En otras palabras, el valor del momento angular cambia en función del punto respecto al que se calcule.

Aunque en su momento no se definió como tal, existe otro tipo de momento que se calcula como producto vectorial de dos vectores: es el momento de una fuerza, que también se introdujo en la Física y química de 1º de Bachillerato, definido como el producto vectorial entre una fuerza y el vector posición respecto a un punto ().

En la siguiente animación puedes ver la relación entre ambos momentos y su variación temporal comparada. Resulta interesante observar cómo el sentido del momento cambia en función de la dirección del movimiento.

Animación 1. Yawe Dominio público

Este es el tratamiento general que se da al estudio de movimientos curvilíneos, pero en este curso el estudio se restringirá a movimientos circulares (y elípticos, llegado el caso), por lo que el punto de referencia O se tomará siempre como el centro de giro.

En el caso de un movimiento circular uniforme (m.c.u.) entonces la distancia de la partícula respecto al centro es constante e igual al radio de la circunferencia (r), y además se cumple que  y  son siempre perpendiculares, de modo que  en todo momento.

Con estas consideraciones, el momento angular respecto al centro de la circunferencia toma el valor:

En el estudio del m.c.u. se vio la conveniencia del uso de la velocidad angular frente a la velocidad lineal. Ambas estaban relacionadas según la ecuación , por lo que el momento angular se expresa:

En un movimiento circular uniforme el momento angular L es constante y de valor 

Imagen 8. M. Peinado Creative Commons

Un camión de bomberos de 5000 kg toma una curva de 100 m de radio con una velocidad lineal constante de 72 km/h.

Calcula el momento angular de la camioneta respecto al centro de la curva.

Imagen 9. Io9 Creative Commons

La Tierra viaja en torno al Sol siguiendo una órbita que se completa en un año. Suponiendo que se trata de una órbita circular de radio 1.5·10¹¹ m, calcula el momento angular orbital de la Tierra respecto al Sol.

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1.2 Conservación del momento angular

Hasta ahora el momento angular no parece tener ninguna aplicación práctica más allá de la resolución de problemas simples, pero ten en cuenta que, en la vida real, los problemas que aparecen son muy complejos y es necesario encontrar herramientas que permitan su simplificación.

Video 1. Youtube Uso educativo

Observa atentamente el siguiente video de una patinadora artística efectuando una serie de giros. Fíjate que la velocidad de los giros no es la misma durante todo su movimiento, pese a que al encontrarse sobre una superficie prácticamente sin rozamiento no actúa ninguna fuerza externa. ¿A qué se deben estos cambios? ¿De qué depende la velocidad de giro? Estas son preguntas que pueden resolverse de una forma sencilla mediante la física.

Tal y como ocurría en el caso del momento lineal, que adquiría su razón de ser en su teorema de conservación que permitía resolver de una forma sencilla, entre otros, gran parte de los problemas de choques, resultará de utilidad estudiar cómo es la evolución temporal del momento angular e intentar obtener algún teorema análogo que simplifique la resolución de problemas en los que el móvil no sigue una trayectoria rectilínea. Para ello se derivará el momento angular respecto al tiempo:

Donde se ha tenido en cuenta la regla de la derivada de un producto de vectores.

Ahora, si sustituyes el momento lineal por su definición () puede desarrollarse la expresión anterior. Para facilitar la comprensión se calcula cada término por separado:

1)  ;Observa que este término es nulo ya que el producto vectorial de dos vectores paralelos siempre es 0.

2)  ; En este caso se ha tenido en cuenta la definición de aceleración y la 2ª Ley de Newton.

Con estos resultados ya es posible expresar la variación con el tiempo del momento angular:

Se define el momento de una fuerza () respecto a un punto O como el producto vectorial entre la fuerza y el vector de posición del punto de aplicación de la misma respecto a O:

Según esta definición, puede enunciarse el Teorema del momento angular, que dice: "La variación del momento angular de un sistema material respecto al tiempo es igual al momento total de las fuerzas que sobre él actúan"

Animación 2. Cleonis Dominio público

Dicho de otra forma, cuando una fuerza externa actúa sobre un cuerpo, su momento angular varía.

Pero estábamos interesados en encontrar un principio de conservación del momento angular, esto es, encontrar las condiciones bajo las cuales la variación temporal del mismo es igual a cero. Según se ha encontrado:

Para que este producto vectorial se anule tiene que darse, por lo menos, una de estas tres condiciones:

a) La fuerza se aplique directamente sobre el punto O (), de forma que su momento será nulo.

b) La fuerza total que actúa sobre el cuerpo es nula (). En tal caso, según la primera ley de Newton el movimiento de cuerpo no sufriría variación y por tanto el momento angular permanece constante.

c) Los vectores  y  tengan la misma dirección (sean paralelos). Este es el caso de gran número de fuerzas, concretamente de las denominadas fuerzas centrales, que siempre están dirigidas hacia el mismo punto que suele escogerse como punto de referencia para el cálculo del momento angular, ya que cuando son de módulo constante originan movimientos circulares. Este es el caso de las fuerzas de origen gravitatorio que estás estudiando en esta unidad.

El principio de conservación del momento angular afirma que el momento angular de un cuerpo permanece constante si sobre él no actúan fuerzas o si las fuerzas que lo hacen son de tipo central.

Esto es lo que le ocurre a la patinadora, al no haber fuerzas externas el momento angular permanece constante y, por tanto, cuanto menor es el radio, más rápido gira. Esto tiene que ver con el denominado momento de inercia de un cuerpo.

Cuando el momento angular se conserva, la constancia del momento angular implica dos consecuencias muy interesantes:

1) La trayectoria de la partícula debe ser plana, pues si , aparte de su módulo también debe serlo su dirección y su sentido, y por lo tanto el plano determinado por  y por , perpendicular a  también debe serlo.

2) La velocidad areolar de la partícula (área barrida por el vector posición  por unidad de tiempo) también es constante.

Imagen 10. J. Ruiz Felipe Uso educativo

Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de longitud y gira con una velocidad de 4 m·s^-1 en un plano horizontal en torno a un punto O, tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro.

a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O.

b) El valor de la velocidad lineal (v) cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda.

Imagen 11. ESA Dominio público

El cometa más famoso es el Halley, que completa su órbita en torno al Sol cada 76 años. En su regreso de 1843 pasó a tan solo 800000 kilómetros del centro del Sol. La velocidad a la que debió pasar por esa zona estaba en torno a los 550 km/s.

Determina la velocidad con la que se desplaza el cometa Halley en su perihelio, cuando se encuentra a 85,5 millones de km del Sol.

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